고1 공통수학2 / 파푸스정리 이미지 속 문제를 파푸스 정리를 이용한 풀이와 일반적인 풀이로 나눠서

이미지 속 문제를 파푸스 정리를 이용한 풀이와 일반적인 풀이로 나눠서 각각 해설 부탁드립니다!

사실 이 문제는 거리 구하는 공식을 적용하여, 2차함수의 최소 문제로 생각해도 크게 복잡하지는 않습니다.

하지만, 파푸스정리를 이용하면 매우 간편해집니다.

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1. 거리구하는 공식 적용

AP^2 + BP^2 = {(p-1)^2 + 5^2} + {(p+5)^2 + 3^2} = p^2 -2p + 26 + p^2 + 10p + 34

= 2(p^2 +4p + 4) -8 + 60 = 2(p+2)^2 + 52

p = -2일 때, 최소이고 그 최솟값은 52.

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2. 파푸스정리 이용

그림에서, M의 좌표는 (-2,4)

AP^2 + AP^2 = 2(PM^2 + AM^2) = 2( PM^2 + (1-(-2))^2 + (5-4)^2 ) = 2( PM^2 + 3^2 + 1^2 )

= 2(PM^2 + 10)

AP^2 + AP^2 은 PM이 최소일 때, 최소. PM은 x축에 수직일 때 최소이므로, 그 최솟값은 4.

구하는 최솟값은

2(PM^2 + 10) = 2×(4^2 + 10) = 2×26 = 52